Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，P是射線AD上一點(diǎn)(除端點(diǎn)外)，過三點(diǎn)A、B、P作⊙O． (1) 當(dāng)BC=4，AP=3時(shí)，求的值，并判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論； (2) 當(dāng)BC=4時(shí)，如果CD與⊙O相切，如圖(b)，求BC邊被⊙O所截得的弦長； (3) 如果當(dāng)BC=a(a＞0)時(shí)，無論點(diǎn)P是射線AD上任一點(diǎn)(除端點(diǎn)外)，直線CP都與⊙O相交，如圖(c)，求a的取值范 圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：(1)= 　　過點(diǎn)O作EF∥AD，分別交AB、CD于點(diǎn)E、F 　　則，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF=BC=4 　　∴OE=AP= 　　∴OF=EF–OE=4–= 　　在Rt△APB中 　　∴PB===3 　　∴OP=PB= 　　∵＞ 　　∴OF＞OP 　　∴CD與⊙O相離
(2)	設(shè)BC與⊙O交于點(diǎn)M，連結(jié)PM 　　在△ABP和△MPB中 　　∵ 　　∴△ABP≌△MPB 　　∴AP=MB 　　設(shè)MB=AP=x(x＞0) 　　則OE=AP= 　　OF=EF–OE=4– 　　PB== 　　OP=PB= 　　∵CD與⊙O相切 　　∴OF=OP 　　∴4–= 　　解得x= 　　∴BC被⊙O截得的弦長為
(3)	∵點(diǎn)P在⊙O上 　　∴CP只可能與⊙O相切或相交 　　令PC與⊙O相切于點(diǎn)P，連結(jié)PC，則∠CPB=∠BAP=90° 　　由∠5+∠6=90°，∠7+∠6=90°∴∠5=∠7 　　∴△ABP∽△PCB 　　∴=即BP2=AP·CB 　　設(shè)AP=x(x＞0) 　　∴BP== 　　∴x2+9=ax即x2－ax+9=0 　　∴方程x2－ax+9=0有正實(shí)數(shù)解，設(shè)方程x2－ax+9=0的兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2 　　又∵ 　　∴△=a2－4×1×9=a2－36 　　令y=a2－36，觀察其函數(shù)圖象，考慮到a＞0,得 　　當(dāng)a≥6時(shí)，△≥0 　　∴當(dāng)0＜a＜6時(shí)，CP不可能與⊙O相切，無論點(diǎn)P是 　　邊AD上任一點(diǎn)(除端點(diǎn)A外)，CP都與⊙O相交