Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），OB=OA，且∠AOB=120°．

（1）求經(jīng)過A，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）若點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，N使得A，O，M，N構(gòu)成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，

在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°

∴OD=1，DB=

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1， ）．

設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

由已知可得： ，

解得：

∴所求拋物線解析式為y= ．

（2）

解：存在，

∵△BOC的周長=OB+BC+CO，

又∵OB=2

∴要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小，

∵點(diǎn)O和點(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱

∴連接AB與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，

且有OC=OA

此時(shí)△BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+AC；

點(diǎn)C為直線AB與拋物線對稱軸的交點(diǎn)

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

將點(diǎn)A（﹣2，0），B（1， ）分別代入，得：

，

解得： ，

∴直線AB的解析式為y= x+

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y= ，

∴所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1， ）；

（3）

解：如圖，

①當(dāng)以O(shè)A為對角線時(shí)，

OA與MN互相垂直且平分

∴點(diǎn)M（﹣1，﹣ ），

②當(dāng)以O(shè)A為邊時(shí)

OA=MN且OA∥MN

即MN=2，MN∥x軸

設(shè)N（﹣1，t）

則M（﹣3，t）或（1，t）

將M點(diǎn)坐標(biāo)代入y= ．

∴t=

∴M（﹣3， ）或（1， ）

綜上：點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M（﹣1，﹣ ）或（﹣3， ）或（1， ）．

【解析】（1）先確定出點(diǎn)B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可；（2）先判斷出使△BOC的周長最小的點(diǎn)C的位置，再求解即可；（3）分OA為對角線和為邊兩種情況進(jìn)行討論計(jì)算．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．