Question

如圖1，P（m，n）是拋物線上任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)（0，﹣2）且與x軸平行的直線，過點(diǎn)P作直線PH⊥l，垂足為H， PH交x軸于Q．

（1）【探究】

（容易題）① 填空：當(dāng)m=0時(shí)，OP=　 　，PH=　 　；當(dāng)m=4時(shí)，OP=　 　，PH=　 　；

（中等題）② 對(duì)任意m，n，猜想OP與PH的大小關(guān)系，并證明你的猜想．

（2）【應(yīng)用】

（中等題）① 當(dāng)OP=OH，且m≠0時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（稍難題）②如圖2，已知線段AB=6，端點(diǎn)A，B在拋物線上滑動(dòng)，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值．

 

Answer 1

解：（1）① 填空：當(dāng)m=0時(shí)，OP=　1　，PH=　1　；當(dāng)m=4時(shí)，OP=　5　，PH=　5　；

② 猜想：OP=PH．

證法一：∵P在二次函數(shù)上，∴﹣1，即.

∵，

∴，∴OP=PH．

證法二：∵P在二次函數(shù)上，∴設(shè)P（m，﹣1），

∵△OPQ為直角三角形，

∴OP

  PH=﹣（﹣2）=，

∴OP=PH．

（2）①依題意，由（1）知PH=OP，∴△OPH是等邊三角形，∠OHP=60°，

∵△OQH為直角三角形，∴∠HOQ=30°

解法一：不妨設(shè)m＞0，在Rt△OHQ中，，∴，解得 .

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）或（-，2）．

解法二：在Rt△OHQ中，OH=2HQ=2×2=4，

由PH=OH，∴x²+1=4，解得：x=±2，∴=×12-1=2，

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）或（-，2）．

②如圖2，分別過點(diǎn)A、C作直線l的垂線，垂足分別為C、D，由（1）知OB=BD，OA=AC.

當(dāng)AB不過O點(diǎn)時(shí)，連接OA，OB，

在△AOB中，∵OB+OA＞AB，∴BD+AC＞AB．

當(dāng)AB過O點(diǎn)時(shí)，∵OB+OA=AB，∴BD+AC=AB．

綜上所述，BD+AC≥AB，∵AB=6，∴BD+AC≥6，

即A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值為6．