Question

【題目】如圖，已知中，，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BCA方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

(1) 出發(fā)2秒后，求PQ的長；

(2) 當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過計(jì)算說明PQ能否把的周長平分？

(3) 當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）2cm；（2）點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)， PQ不能把△ABC的周長平分；（3）5.5秒或6秒或6.6秒．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP，再求出BP和BQ，根據(jù)勾股定理即可求得PQ的長；
（2）由勾股定理求出AC，由題意得出方程，解方程求出t，即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：
①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；
②當(dāng)CQ=BC時(shí)（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；
③當(dāng)BC=BQ時(shí)（圖3），過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求出BE，CE，即可得出t．

解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
∴PQ===2（cm）；
（2）由勾股定理得：AC===10（cm），
根據(jù)題意得：BQ=2tcm，CQ=（6-2t）cm，PA=tcm，BP=（8-t）cm，
若PQ能把△ABC的周長平分，則BQ+BP=CQ+PA+AC，
即2t+8-t=6-2t+t+10，
解得：t=4，
此時(shí)CQ=6-2t=-2，
∴t=4不合題意，
∴點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)， PQ不能把△ABC的周長平分；
（3）①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示：

則∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒；
②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示：

則BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒；
③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示：

過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，
則BE===4.8（cm）
∴CE==3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，
△BCQ為等腰三角形．