Question

已知：AB是⊙O的直徑，AP、AQ是⊙O的兩條弦，如圖1，經(jīng)過B作⊙O的切線l，分別交直線AP、AQ于點M、N．可以得出結論AP•AM=AQ•AN成立．

（1）若將直線l向上平行移動，使直線l與⊙O相交，如圖2所示，其他條件不變，上述結論是否成立？若成立，寫出證明，若不成立，說明理由；
（2）若將直線l繼續(xù)向上平行移動，使直線l與⊙O相離，其他條件不變，請在圖3上畫出符合條件的圖形，上述結論成立嗎？若成立，寫出證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BP，BQ，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到∠APB=∠AQB=90°，直線L在平移的過程中與AB垂直，可以證明△AMC∽△ABP和△ANC∽△ABQ，利用相似三角形對應邊的比相等，得到線段乘積的形式，然后用等量代換可以得到結論．（2）根據(jù)題意畫出圖形，連接BP，BQ，運用兩角對應相等可以證明兩組相似三角形，然后利用相似三角形對應邊的比相等進行證明．

解答：解：（1）如圖2：把直線L向上平移與AB相交于點C，連接PB，QB，
∵AB是直徑，∴∠APB=90°，
又∠ACM=90°，∴∠APB=∠ACM，
∵∠MAC=∠BAP，
∴△AMC∽△ABP，∴

AM

AB

=

AC

AP

，∴AM•AP=AB•AC．
同理可證：△ANC∽△ABQ，∴

AN

AB

=

AC

AQ

，∴AN•AQ=AB•AC．
因此：AP•AM=AQ•AN．

（2）如圖3：結論成立．
連接BP，BQ，∵∠APB=∠ACM=90°，∠BAP=∠MAC，
∴△ABP∽△AMC，∴

AB

AM

=

AP

AC

，∴AP•AM=AB•AC．
同理可證：△ABQ∽△ANC，∴

AQ

AC

=

AB

AN

，∴AQ•AN=AB•AC．
因此：AP•AM=AQ•AN．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）直線L在平移的過程中，與AB垂直，以及直徑所對的圓周角是直角，可以得到兩角對應相等，證明三角形相似，再用相似三角形對應邊的比相等證明．（2）根據(jù)題意畫出圖形，證明方法與（1）相同．