Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（3，4）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣5）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C有什么位置關(guān)系，并給出證明；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線解析式為：y=a（x﹣3）2+4，

將A（0，﹣5）代入求得：a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5

（2）

解：拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C相離．證明：

令y=0，即﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，

∴B（1，0），C（5，0）．

如答圖①所示，

設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，

由題意易證Rt△ABO∽R(shí)t△BCE，

∴ ，

即 ，

求得⊙C的半徑CE= = = ；

而點(diǎn)C到對(duì)稱軸x=3的距離為2，2＞ ，

∴拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C相離

（3）

解：存在．理由如下：

有兩種情況：

（i）如答圖②所示，

點(diǎn)P在x軸上方．

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC為等腰直角三角形，∠OCA=45°；

∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．

過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，則△PCF為等腰直角三角形．

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），則有OF=m，PF=CF=n，

OC=OF+CF=m+n=5 ①

又點(diǎn)P在拋物線上，

∴n=﹣m2+6m﹣5 ②

聯(lián)立①②式，解得：m=2或m=5．

當(dāng)m=5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，故舍去，

∴m=2，

∴n=3，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）；

（ii）如答圖③所示，

點(diǎn)P在x軸下方．

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC為等腰直角三角形，∠OAC=45°；

過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，

∵PA⊥AC，

∴∠PAF=45°，即△PAF為等腰直角三角形．

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），則有PF=AF=m，OF=﹣n=OA+AF=5+m，

∴m+n=﹣5 ①

又點(diǎn)P在拋物線上，

∴n=﹣m2+6m﹣5 ②

聯(lián)立①②式，解得：m=0或m=7．

當(dāng)m=0時(shí)，點(diǎn)P與原點(diǎn)重合，故舍去，

∴m=7，

∴n=﹣12，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（7，﹣12）．

綜上所述，存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（7，﹣12）．

【解析】（1）由頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是分析圓的半徑r和圓心到直線距離d之間的大小關(guān)系．由題意可知d=2，由相似三角形求得r= ，因?yàn)?＞ ，所以可判定拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C相離；（3）本問(wèn)是存在性問(wèn)題．點(diǎn)P有兩種情況，分別位于x軸上方與下方，需要分類討論，注意不要漏解；在求點(diǎn)P坐標(biāo)時(shí)，需要充分利用幾何圖形（等腰直角三角形）的性質(zhì)，以及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)．