Question

【題目】如圖，以等邊的邊為直徑畫(huà)半圓，分別交邊，于點(diǎn)，，是半圓的切線，交于點(diǎn)，若的長(zhǎng)為1，則的面積為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接OD，由DF為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于DF，根據(jù)三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到三條邊相等，三內(nèi)角相等，都為60°，由OD=OC，得到三角形OCD為等邊三角形，進(jìn)而得到OD平行與AB，由O為BC的中點(diǎn)，得到D為AC的中點(diǎn)，在直角三角形ADF中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)，即為AB的長(zhǎng)，由AB-AF求出FB的長(zhǎng)，在直角三角形FBG中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BG的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)即可求出FG的長(zhǎng)．最后用三角形的面積公式即可．

如圖，連接OD，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC，

∵DF為圓O的切線，

∴OD⊥DF，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°，

∵OD=OC，

∴△OCD為等邊三角形，

∴∠CDO=∠A=60°，∠ABC=∠DOC=60°，

∴OD∥AB，

∴DF⊥AB，

在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=1，

∴AD=2AF=2，

∴AC=4，即：BC=AC=4，

∴FB=AB-AF=4-1=3，

在Rt△BFG中，∠BFG=30°，

∴cos∠BFG=，

∴FG=BF=．

∴S△FBC=BC×FG=×4×=3，

故選A．