Question

【題目】問題探究：
①新知學(xué)習(xí)
若把將一個(gè)平面圖形分為面積相等的兩個(gè)部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是圓的“面徑”）．
②解決問題

已知等邊三角形ABC的邊長為2．
（1）如圖一，若AD⊥BC，垂足為D，試說明AD是△ABC的一條面徑，并求AD的長；
（2）如圖二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，求面徑ME的長；
（3）如圖三，已知D為BC的中點(diǎn)，連接AD，M為AB上的一點(diǎn)（0＜AM＜1），E是DC上的一點(diǎn)，連接ME，ME與AD交于點(diǎn)O，且S△MOA=S△DOE ．
①求證：ME是△ABC的面徑；
②連接AE，求證：MD∥AE；
（4）請你猜測等邊三角形ABC的面徑長l的取值范圍（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖一中，

∵AB=AC=BC=2，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴S△ABD=S△ADC，

∴線段AD是△ABC的面徑．

∵∠B=60°，

∴sin60°= ，

∴ = ，

∴AD= ．

（2）

解：如圖二中，

∵M(jìn)E∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，

∴△AME∽△ABC， = ，

∴ = ，

∴ME= ．

（3）

解：如圖三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F．

∵S△MOA=S△DOE，

∴S△AEM=S△AED，

∴ AEMN= AEDF，

∴MN=DF，

∵M(jìn)N∥DF，

∴四邊形MNFD是平行四邊形，

∴DM∥AE．

（4）

解：如圖四中，作MF⊥BC于F，設(shè)BM=x，BE=y，

∵DM∥AE，

∴ ，

∴ ，

∴xy=2，

在RT△MBF中，∵∠MFB=90°，∠B=60°，BM=x，

∴BF= x，MF= x，

∴ME= = = ≥ ，

∴ME≥ ，

∵M(jìn)E是等邊三角形面徑，AD也是等邊三角形面積徑，

∴等邊三角形ABC的面徑長l的取值范圍 ≤l≤

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明，利用直角三角形30°性質(zhì)，即可求出AD．（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)面積比等于相似比的平方，即可解決問題．（3）如圖三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F，先證明MN=DF，推出四邊形MNFD是平行四邊形即可．（4）如圖四中，作MF⊥BC于F，設(shè)BM=x，BE=y，求出EM，利用不等式性質(zhì)證明ME≥ 即可解決問題．本題考查等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)條件常用輔助線，記住不等式的性質(zhì)x2+y2≥2xy，屬于中考壓軸題．