Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．

（1）求A、B的坐標．

（2）求證：射線AO是∠BAC的平分線．

（3）若點M在平面直角坐標系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出F點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，4），B（﹣3，0）（2）射線AO是∠BAC的平分線（3）滿足條件的點有四個：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣， ）．

【解析】試題分析：（1）先解出一元二次方程，即得出OA，OB，即可得出點A，B坐標；

（2）先得出BC=AD=6，求出OC，再判斷出△AOB≌△AOC即可；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．

試題解析：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩個根，∴x=3或x=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，∴A（0，4），B（﹣3，0）；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=6，∵B（﹣3，0），∴C（3，0），∴OC=OB，在△AOB和△AOC中，∵OB=OC，∠AOB=∠AOC，AO=AO，∴△AOB≌△AOC，∴∠BAO=∠CAO，∴射線AO是∠BAC的平分線

（3）∵OB=OC=3，∴AO平分∠BAC．

①AC、AF是鄰邊，點F在射線AB上時，AF=AC=5，所以點F與B重合，即F（﹣3，0）；

②AC、AF是鄰邊，點F在射線BA上時，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，點F（3，8）．

③AC是對角線時，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=﹣x+4，直線L過（，2），且k值（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為﹣1），L解析式為，聯(lián)立直線L與直線AB求交點，∴F（﹣，﹣）；

④AF是對角線時，過C做AB垂線，垂足為N，

根據(jù)等積法求出CN=，勾股定理得出，AN=，作A關(guān)于N的對稱點即為F，AF=，過F做y軸垂線，垂足為G，FG=，∴F（﹣， ）．

綜上所述，滿足條件的點有四個：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣， ）．