Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠C=120°
（1）求證：AD=BC；
（2）若CD=2cm，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得出∠CDB=∠CDB=30°，進(jìn)而根據(jù)AB∥CD可得出∠ABC=60°，∠A=60°，這樣即可判斷四邊形ABCD是等腰梯形，也就得出了AD=BC．
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，在RT△ADB中，可求出AB、DE的長度，進(jìn)而利用梯形的面積公式可得出梯形ABCD的面積．

解答：（1）證明：∵BC=CD，∠C=120°
∴∠CDB=∠CBD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠DBA=∠CDB=30°，
∴∠A=60°，∠CBA=60°，
故可得BC=AD．

（2）解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
在RT△ABD中，∠ABD=30°，
∴AB=2AD=4cm，
在RT△ADE中，∠A=60°，
∴AE=

1

2

AD=1cm，DE=

AD2-AE2

=

3

cm，
∴S_{梯形ABCD的面積}=

1

2

（CD+AB）×DE=3

3

cm²．

點(diǎn)評：此題考查了梯形及勾股定理的知識，第一問的證明關(guān)鍵是利用等腰三角形及平行線的性質(zhì)，第二問的求解關(guān)鍵是在直角三角形中熟練運(yùn)用三角函數(shù)及勾股定理，難度一般．