Question

【題目】如圖，在RtABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與邊AB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于E．

（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；

（2）求證：BC2＝BDBA；

（3）當(dāng)AC＝BC時(shí)，四邊形OCED是什么四邊形，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）四邊形OCED是正方形，理由見解析

【解析】

（1）利用EC為⊙O的切線，ED也為⊙O的切線，可求EC＝ED，再求得EB＝EC，EB＝ED，可知點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；

（2）由AC是⊙O是直徑，得到CD⊥AB，由于∠ACB＝90°，證得△BCD∽△BAC，得到
BC∶BA＝BD∶BC，即BC2＝BDBA，即可得到結(jié)論；

（3）當(dāng)AC＝BC時(shí)，利用DE＝CE＝BC，OC＝AC，得到OD＝OC＝CE＝DE，再由∠OCE＝90°，于是可判定四邊形OCED為正方形．

（1）證明：∵∠ACB=90°，DE是⊙O的切線

∴BC是⊙O的切線，即ED=EC

∴∠1=∠2

∵AC是⊙O的直徑

∴∠ADC=∠BDC=90°

∴∠1+∠3=∠2+∠B=90°，即∠3=∠B

∴ED=EB，即ED=EB=EC

∴點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)

（2）由（1）可得：∠BDC=∠ACB=90°，∠B=∠B

∴△BCD∽△BAC

∴，即

（3）如圖，連接OD，當(dāng)AC=BC時(shí)，四邊形OCED是正方形，理由如下：

由（1）得

∴DE=EC=OC=OD

∴四邊形OCED是菱形

∵∠ACB=90°

∴四邊形OCED是正方形．