Question

已知拋物線y=a（x-t-2）²+t²（a，t是常數(shù)，a≠0，t≠0）的頂點(diǎn)是P點(diǎn)，與x軸交于A（2，0）、B兩點(diǎn)．
（1）①求a的值；
②△PAB能否構(gòu)成直角三角形？若能，求出t的值：若不能，說明理由．
（2）若t＞0，點(diǎn)F（0，-1），把拋物線y=a（x-t-2）²+t²向左平移t個(gè)單位后與x軸的正半軸交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)t為何值時(shí)，過F、M、N三點(diǎn)的圓的面積最��？并求這個(gè)圓面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由拋物線與x軸交于A點(diǎn)，將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式中，根據(jù)t不為0求出a的值即可；
②將求出的a的值代入拋物線解析式中，令解析式中y=0，求出對應(yīng)的x的值，確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后分兩種情況考慮：（i）當(dāng)t＞0時(shí)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，由A和B的坐標(biāo)求出OA與OB的長，假設(shè)此時(shí)三角形PAB為直角三角形，如圖1所示，過P作PQ垂直于AB，由對稱性及等腰三角形的性質(zhì)得到PA等于AB的一半，再由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，確定出PQ的長，由OB-OA求出AB的長，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到此時(shí)t的值；（ii）當(dāng)t＜0時(shí)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，假設(shè)△PAB是直角三角形，如圖2所示：過P作PQ⊥AB于Q，同理得到PQ等于AB的一半，由P的縱坐標(biāo)得出PQ的長，由OA-OB求出AB的長，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到此時(shí)t的值，綜上，得到△PAB能否構(gòu)成直角三角形時(shí)所有t的值；
（2）不妨設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，根據(jù)平移規(guī)律表示出原拋物線向左平移t個(gè)單位后與x軸的交點(diǎn)M和N的坐標(biāo)，以及MN垂直平分線的方程，當(dāng)CF垂直于y軸時(shí)，根據(jù)垂線段最短得到CF的長度最小，可得出此時(shí)圓C的半徑為2，確定出圓C的最小面積，再由F的坐標(biāo)求出OF與CH的長，由OH-OM求出HM的長，在直角三角形CHM中，利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到圓C面積最小時(shí)t的值．
解答：
解：（1）①把A（2，0）代入y=a（x-t-2）²+t²得：at²+t²=0，┅（2分）
∵t≠0，∴a=-1；┅（3分）
②△PAB能構(gòu)成直角三角形，理由為：
將a=-1代入拋物線解析式得：y=-（x-t-2）²+t²，
當(dāng)y=0時(shí)，-（x-t-2）²+t²=0，即（x-t-2）²=t²，
開方得：x-t-2=t或x-t-2=-t，
解得：x₁=2，x₂=2t+2，
∴B（2t+2，0），┅（4分）
分兩種情況：
（i）當(dāng)t＞0時(shí)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，OA=2，OB=2t+2，
假設(shè)△PAB是直角三角形，如圖1所示：過P作PQ⊥AB于Q，
則PQ=AB，┅（5分）
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t+2，t²），
∴PQ=t²，
∵AB=OB-OA=（2t+2）-2=2t，
∴t²=t，即t（t-1）=0，
解得：t₁=1，t₂=0（不合題意舍去）；┅（6分）
（ii）當(dāng)t＜0時(shí)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，
假設(shè)△PAB是直角三角形，如圖2所示：過P作PQ⊥AB于Q，
同理：PQ=AB，
∵AB=OA-OB=2-（2t+2）=-2t，PQ=t²，
∴t²=-t，┅（7分）
即t（t+1）=0，
解得：t₁=-1，t₂=0（不合題意舍去），┅（8分）
則當(dāng)t=±1時(shí)，△PAB是直角三角形；

（2）不妨設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，
原拋物線向左平移t個(gè)單位后與x軸的交點(diǎn)M（2-t，0）、N（t+2，0），
MN的垂直平分線為直線x=2，垂足為H，┅（9分）
如圖3所示，∵CF垂直于y軸時(shí)，CF的長度最小，
∴⊙C半徑的最小值為2，┅（10分）
此時(shí)CM=CF=2，⊙C的最小面積為4π，┅（11分）
∵F（0，-1），∴CH=OF=1，
在Rt△CMH中，MH=OH-OM=2-（2-t）=t，
根據(jù)勾股定理得：CH²+MH²=CM²，┅（12分）
∴1²+t²=2²，解得：t₁=，t₂=-（不合題意舍去），┅（13分）
則當(dāng)t=時(shí)，過F、M、N三點(diǎn)圓的面積最小，最小面積為4π．┅（14分）
點(diǎn)評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，勾股定理，垂線段最短，以及平移的性質(zhì)，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中考中的壓軸題，要求學(xué)生把所學(xué)知識融匯貫穿，靈活運(yùn)用．