Question

如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax²+bx﹣1（a≠0）的圖象過點A（2，0）和B（4，3），l為過
點（0，﹣2）且與x軸平行的直線，P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的任意一點，過P作
PH⊥l，H為垂足．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx﹣1（a≠0）的解析式；
（2）請直接寫出使y＜0的對應的x的取值范圍；
（3）對應當m=0，m=2和m=4時，分別計算|PO|²和|PH|²的值．由此觀察其規(guī)律，并猜想一個結論，證明對于任意實數(shù)m，此結論成立；
（4）試問是否存在實數(shù)m可使△POH為正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx﹣1（a≠0）的圖象過點A（2，0）和B（4，3），
∴，
解得a=，b=0，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²﹣1，
（2）令y=x²﹣1=0，
解得x=﹣4或x=4，
由圖象可知當﹣4＜x＜4時y＜0，
（3）當m=0時，|PO|²=1，|PH|²=1；
當m=2時，P點的坐標為（2，0），|PO|²=4，|PH|²=4，
當m=4時，P點的坐標為（4，3），|PO|²=25，|PH|²=25，
由此發(fā)現(xiàn)|PO|²=|PH|²，設P點坐標為（m，n），即n=m²﹣1
|OP|=，|PH|²=n²+4n+4=n²+m²，
故對于任意實數(shù)m，
|PO|²=|PH|²；
（4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH為正三角形，
設P點坐標為（m，n），|OP|=，|OH|=，
|OP|=|OH|，即n²=4，解得n=±2，
當n=﹣2時，n=m²﹣1不符合條件，
故n=2，m=±2時可使△POH為正三角形．