Question

如圖，正方形ABCD中，AB=8，Q是CD的中點(diǎn)，設(shè)∠DAQ=α，在CD上取一點(diǎn)P，使∠BAP=2α，則CP的長是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   

Answer 1

B
分析：如下圖，證明△ABE≌△AFE，得EF=BE=EC，得△EFP≌△ECP，得△ECP∽△ABE．即可求CP的長度．
解答：解：取BC的中點(diǎn)E，連接AE，作EF⊥AP，
則△ABE≌△ADQ，得EB=EC=4，
由得：△ABE≌△AFE，
∴∠AEB=∠AEF，
得EF=EB=EC，
∵PE=PE，
∴∠ECP=∠EFP=90°，
∴△EPC≌△EPF，
∴∠FEP=∠PEC，
∴∠AEP=∠AEF+∠FEP=90°，
∴∠PEF=∠PEC=∠EAP=∠EAB，
∴△CEP∽△BAE，
∴===，
即PC=2，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是全等三角形的判定，相似三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了正方形各邊相等，且各內(nèi)角均為直角的性質(zhì)，本題求證△AEP是直角三角形是解本題的關(guān)鍵．