Question

【題目】自從湖南與歐洲的“湘歐快線”開(kāi)通后，我省與歐洲各國(guó)經(jīng)貿(mào)往來(lái)日益頻繁，某歐洲客商準(zhǔn)備在湖南采購(gòu)一批特色商品，經(jīng)調(diào)查，用16 000元采購(gòu)A型商品的件數(shù)是用7 500元采購(gòu)B型商品的件數(shù)的2倍，一件A型商品的進(jìn)價(jià)比一件B型商品的進(jìn)價(jià)多10元．

(1)求一件A，B型商品的進(jìn)價(jià)分別為多少元？

(2)若該歐洲客商購(gòu)進(jìn)A，B型商品共250件進(jìn)行試銷，其中A型商品的件數(shù)不大于B型的件數(shù)，且不小于80件，已知A型商品的售價(jià)為240元/件，B型商品的售價(jià)為220元/件，且全部售出．設(shè)購(gòu)進(jìn)A型商品m件，求該客商銷售這批商品的利潤(rùn)v與m之間的函數(shù)解析式，并寫出m的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，歐洲客商決定在試銷活動(dòng)中每售出一件A型商品，就從一件A型商品的利潤(rùn)中捐獻(xiàn)慈善資金a元，求該客商售完所有商品并捐獻(xiàn)慈善資金后獲得的最大收益．

Answer 1

【答案】（1）一件B型商品的進(jìn)價(jià)為150元，一件A型商品的進(jìn)價(jià)為160元；（2）80≤m≤125；（3）m＝80時(shí)，最大利潤(rùn)為(18 300－80a)元．

【解析】試題（1）設(shè)一件B型商品的進(jìn)價(jià)為x元，則一件A型商品的進(jìn)價(jià)為（x+10）元．根據(jù)16000元采購(gòu)A型商品的件數(shù)是用7500元采購(gòu)B型商品的件數(shù)的2倍，列出方程即可解決問(wèn)題；

（2）根據(jù)總利潤(rùn)=兩種商品的利潤(rùn)之和，列出式子即可解決問(wèn)題；

（3）設(shè)利潤(rùn)為w元．則w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三種情形討論即可解決問(wèn)題．

試題解析：解：（1）設(shè)一件B型商品的進(jìn)價(jià)為x元，則一件A型商品的進(jìn)價(jià)為（x+10）元．

由題意：，解得x=150，經(jīng)檢驗(yàn)x=150是分式方程的解．

答：一件B型商品的進(jìn)價(jià)為150元，一件A型商品的進(jìn)價(jià)為160元．

（2）因?yàn)榭蜕藤?gòu)進(jìn)A型商品m件，所以客商購(gòu)進(jìn)B型商品（250﹣m）件．

由題意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，∴v=10m+17500（80≤m≤125）；

（3）設(shè)利潤(rùn)為w元．則w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500：

①當(dāng)10﹣a＞0時(shí)，w隨m的增大而增大，所以m=125時(shí)，最大利潤(rùn)為（18750﹣125a）元．

②當(dāng)10﹣a=0時(shí)，最大利潤(rùn)為17500元．

③當(dāng)10﹣a＜0時(shí)，w隨m的增大而減小，所以m=80時(shí)，最大利潤(rùn)為（18300﹣80a）元，∴當(dāng)a＜10時(shí)，最大利潤(rùn)為（18750﹣125a）元；當(dāng)a=10時(shí)，最大利潤(rùn)為17500元；當(dāng)a＞10時(shí)，最大利潤(rùn)為（18300﹣80a）元．