Question

【題目】如圖，在平面直角坐標中，點O是坐標原點，一次函數(shù)y1＝kx+b與反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于A（1，m）、B（n，1）兩點．

（1）求直線AB的解析式及△OAB面積；

（2）根據(jù)圖象寫出當y1＜y2時，x的取值范圍；

（3）若點P在x軸上，求PA+PB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）S△OAB＝4；（2）x的取值范圍是：0＜x＜1或x＞3；（3）PA+PB的最小值為2．

【解析】

（1）將A、B兩點的坐標代入反比例函數(shù)的解析式，求出m、n的值，然后將A、B的坐標代入一次函數(shù)解析式即可求出直線AB的解析式，進而求出點M、點N的坐標，根據(jù)依據(jù)S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON代入計算即可得出答案；

（2）結(jié)合函數(shù)圖象找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方對應(yīng)的自變量的取值范圍即可；

（3）作點A關(guān)于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于點P，則PA+PB的最小值等于BC的長，利用勾股定理即可得到BC的長．

解：（1）A（1，m）、B（n，1）兩點坐標分別代入反比例函數(shù)y2＝，可得

m＝3，n＝3，

∴A（1，3）、B（3，1），

把A（1，3）、B（3，1）代入一次函數(shù)y1＝kx+b，可得

，

解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+4．

∴M（0，4），N（4，0）．

∴S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝4．

（2）從圖象看出0＜x＜1或x＞3時，正比例函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，

∴當y1＜y2時，x的取值范圍是：0＜x＜1或x＞3．

（3）如圖，作點A關(guān)于x軸的對稱點C，連接BC交y軸于點P，則PA+PB的最小值等于BC的長，

過C作x軸的平行線，過B作y軸的平行線，交于點D，則

Rt△BCD中，BD＝4，CD＝2，BC＝＝＝．

∴PA+PB的最小值為．