Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，點A，B的橫坐標分別為a、a+2，二次函數(shù)y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的圖象經(jīng)過點A，B，且a、m滿足2a﹣m=d（d為常數(shù)）．
（1）若一次函數(shù)y1=kx+b的圖象經(jīng)過A、B兩點．
①當a=1、d=﹣1時，求k的值；
②若y1隨x的增大而減小，求d的取值范圍；
（2）當d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4時，判斷直線AB與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）點A，B的位置隨著a的變化而變化，設(shè)點A，B運動的路線與y軸分別相交于點C，D，線段CD的長度會發(fā)生變化嗎？如果不變，求出CD的長；如果變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當a=1、d=﹣1時，m=2a﹣d=3，

所以二次函數(shù)的表達式是y=﹣x2+x+6．

∵a=1，

∴點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為3，

把x=1代入拋物線的解析式得：y=6，把x=3代入拋物線的解析式得：y=0，

∴A（1，6），B（3，0）．

將點A和點B的坐標代入直線的解析式得： ，解得： ，

所以k的值為﹣3．

②∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m=﹣（x﹣m）（x+2），

∴當x=a時，y=﹣（a﹣m）（a+2）；當x=a+2時，y=﹣（a+2﹣4）（a+4），

∵y1隨著x的增大而減小，且a＜a+2，

∴﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），解得：2a﹣m＞﹣4，

又∵2a﹣m=d，

∴d的取值范圍為d＞﹣4．

（2）解：∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d，

∴m=2a+4．

∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8．

把x=a代入拋物線的解析式得：y=a2+6a+8．

把x=a+2代入拋物線的解析式得：y=a2+6a+8．

∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．

∵點A、點B的縱坐標相同，

∴AB∥x軸．

（3）解：線段CD的長度不變．

∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m過點A、點B，2a﹣m=d，

∴y=﹣x2+（2a﹣d﹣2）x+2（2a﹣d）．

∴yA=﹣a2+（2﹣d）a﹣2d，yB=a2+（2﹣d）a﹣4d﹣8．

∵把a=0代入yA=﹣a2+（2﹣d）a﹣2d，得：y=﹣2d，

∴C（0，﹣2d）．

∵點D在y軸上，即a+2=0，

∴a=﹣2，．

把a=﹣2代入yB=a2+（2﹣d）a﹣4d﹣8得：y=﹣2d﹣8．

∴D（0，﹣2d﹣8）．

∴DC=|﹣2d﹣（﹣2d﹣8）|=8．

∴線段CD的長度不變．

【解析】（1）當a=1、d=﹣1時，m=2a﹣d=3，代入拋物線解析式算出A、B坐標，再代入直線解析式即可；（2）由A、B在拋物線上，得出A、B的含參數(shù)a 坐標，縱坐標相同，可判斷與x軸平行；（3）分別用a 代數(shù)式表示C、D坐標，縱坐標的差是常數(shù)8，說明不變.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)關(guān)系式和確定一次函數(shù)的表達式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法．