Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，5），與x軸相交于B（﹣1，0），C（3，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC′D，若點(diǎn)C′恰好落在拋物線的對稱軸上，求點(diǎn)C′和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式即可；

（2）先確定二次函數(shù)對稱軸，BC長度，根據(jù)題意和翻折的性質(zhì)，得到B C′長度，利用三角函數(shù)求出∠C′BC，再根據(jù)角平分線求出∠DBC，解直角三角形可以求得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，本題得以解決．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，5），與x軸相交于B（﹣1，0），C（3，0）兩點(diǎn)，

∴，得，

即拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵與x軸相交于B（﹣1，0），C（3，0）兩點(diǎn)，

∴BC=3﹣（﹣1）=3+1=4，該拋物線的對稱軸是直線x==1，

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H，

則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，0），

∴BH=2，

∵將△BCD沿直線BD翻折得到△BC′D，點(diǎn)C′恰好落在拋物線的對稱軸上，

∴BC=BC′=4，∠C′HB=90°，∠C′BD=∠DBC，

∴OC′==2，cos∠C′BH===，

∴C′的坐標(biāo)為（1，2），∠C′BH=60°，

∴∠DBC=30°，

∵BH=2，∠DBH=30°，

∴OD=BHtan30°=2×=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），

由上可得，點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）．