Question

如圖，CD是直角三角形ABC的斜邊AB上的高，I₁、I₂分別是△ADC、△BDC的內(nèi)心，若AC=3，BC=4，則I₁I₂=

 

．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：壓軸題

分析：首先作I₁E⊥AB于E，I₂F⊥AB于F．在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AB的值，再運用射影定理求得AD、BD的長．因為I₁E為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，即可求得I₁E的值．連接DI₁、DI₂，則DI₁、DI₂分別是∠ADC和∠BDC的平分線，利用垂直的定義，可得到I₁D⊥I₂D．利用在直角三角形中，直角邊也對應(yīng)角的關(guān)系，求得DI₁、DI₂的值，進(jìn)而求得I₁I₂的值．

解答：解：作I₁E⊥AB于E，I₂F⊥AB于F，
在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=

AC2+BC2

=5，
又∵CD⊥AB，由射影定理可得AD=

AC2

AB

=

9

5

，
∴BD=AB-AD=

16

5

，CD=

AC2-AD2

=

12

5

，
∵I₁E為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，
∴I₁E=

1

2

（AD+CD-AC）=

3

5

，
連接DI₁、DI₂，則DI₁、DI₂分別是∠ADC和∠BDC的平分線，
∵∠I₁DC=∠I₁DA=∠I₂DC=∠I₂DB=45°，
∴∠I₁DI₂=90°，
∴I₁D⊥I₂D，DI₁=

I1E

sin∠ADI1

=

3 5

sin45°

=

3 2

5

，
同理，可求得I₂F=

4

5

，DI₂=

4 2

5

，
∴I₁I₂=

I1D2+I2D2

=

2

．

點評：本題考查內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理、解直角三角形．解決本題的基本思路是首先求得兩個內(nèi)切圓I₁、I₂的半徑，再利用勾股定理求得DI₁、DI₂，最后在證明I₁D⊥I₂D的基礎(chǔ)上求得I₁I₂的值．