Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點（1，0）和點（0，3）．

（1）求此拋物線的解析式及頂點坐標(biāo)；

（2）當(dāng)自變量x滿足﹣1≤x≤3時，求函數(shù)值y的取值范圍；

（3）將此拋物線沿x軸平移m個單位后，當(dāng)自變量x滿足1≤x≤5時，y的最小值為5，求m的值．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3, 頂點坐標(biāo)為（2，﹣1）；(2) ﹣1≤x＜8；(3) m的值為3+或1+

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；然后把一般式配成頂點式得到拋物線的頂點坐標(biāo)；

（2）先計算出當(dāng)x＝﹣1和x＝3對應(yīng)的函數(shù)值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；

（3）設(shè)此拋物線沿x軸向右平移m個單位后拋物線解析式為y＝（x﹣2﹣m）2﹣1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)2+m＞5，此時x＝5時，y＝5，即（5﹣2﹣m）2﹣1＝5，；設(shè)此拋物線沿x軸向左平移m個單位后拋物線解析式為y＝（x﹣2+m）2﹣1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到2﹣m＜1，此時x＝1時，y＝5，即（1﹣2﹣m）2﹣1＝5，然后分別解關(guān)于m的方程即可．

解：（1）把（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得 解得

∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3；

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，﹣1）；

（2）當(dāng)x＝﹣1時，y＝x2﹣4x+3＝8，

當(dāng)x＝3時，y＝x2﹣4x+3＝0，

∴當(dāng)﹣1≤x≤3時，函數(shù)值y的取值范圍為﹣1≤x＜8；

（3）設(shè)此拋物線沿x軸向右平移m個單位后拋物線解析式為y＝（x﹣2﹣m）2﹣1，

∵當(dāng)自變量x滿足1≤x≤5時，y的最小值為5，

∴2+m＞5，即m＞3，

此時x＝5時，y＝5，即（5﹣2﹣m）2﹣1＝5，解得m1＝3+，m2＝3﹣（舍去），

設(shè)此拋物線沿x軸向左平移m個單位后拋物線解析式為y＝（x﹣2+m）2﹣1，

∵當(dāng)自變量x滿足1≤x≤5時，y的最小值為5，

∴2﹣m＜1，即m＞1，

此時x＝1時，y＝5，即（1﹣2﹣m）2﹣1＝5，解得m1＝1+，m2＝1﹣（舍去），

綜上所述，m的值為3+或1+．