Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，4），且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點(diǎn)（如圖），A點(diǎn)在y軸上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（﹣3，0）．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），過(guò)N作NP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)M，求MN的最大值；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)N在何位置時(shí)，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由題設(shè)可知A（0，1），B（﹣3，），

根據(jù)題意得：，解得：，

則二次函數(shù)的解析式是：y=﹣﹣x+1；

（2）設(shè)N（x，﹣x²﹣x+1），則M、P點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x，﹣x+1），（x，0）．

∴MN=PN﹣PM=﹣x²﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x²﹣x=﹣（x+）²+，

則當(dāng)x=﹣時(shí)，MN的最大值為；

（3）連接MN、BN、BM與NC互相垂直平分，

即四邊形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，

即﹣x²﹣x=，且（﹣x+1）²+（x+3）²=，解得：x=1，

故當(dāng)N（﹣1，4）時(shí)，MN和NC互相垂直平分．