Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數），BC=8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）．連結DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設CE=x，BF=y．

（1）求y關于x的函數關系式；

（2）若m=8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？

 

Answer 1

（1），（2）當=4時，的值最大，最大值是2，（3）6或2

解析:⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠，

∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°.

又∵EF⊥DE ， ∴∠1+∠2=90°.∴∠2=∠BFE.∴Rt△BFE∽Rt△CED.

∴，即.  ∴.

⑵當=8時， ，化成頂點式: ，

∴當=4時，的值最大，最大值是2.                          6分

⑶由，及得的方程: ，解得 .

∵△DEF中∠FED是直角，

∴要使△DEF是等腰三角形，則只能是EF=ED，此時，Rt△BFE≌Rt△CED.

∴當EC=2時，=CD=BE=6;

  當EC=6時，=CD=BE=2.

即的值應為6或2時， △DEF是等腰三角形.                             8分

⑴設法證明與這兩條線段所在的兩個三角形相似，由比例式建立關于的函數關系式;⑵將的值代入⑴中的函數關系式，配方化成項點式后求最值;⑶逆向思考，當△DEF是等腰三角形，因為DE⊥EF，所以只能是EF=ED，再由⑴可得Rt△BFE≌Rt△CED，從而求出的值.