Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB = CD，AB = kBC，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BAP =∠BCP，連結(jié)PB、PD．猜想∠ABP與∠ADP的關(guān)系，并證明．

說明：如果你經(jīng)過反復(fù)探索沒有解決問題，可以補(bǔ)充條件k = 1．在補(bǔ)充條件后，先畫圖，再完成上面的問題，最多可得7分．

Answer 1

結(jié)論：∠ABP =∠ADP．（說明：結(jié)論1分，但不重復(fù)得分）                       

證明：如圖1，過點(diǎn)P作PE∥AD交AB于E，GH∥AB交BC、AD于G、H．

∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

∴AD∥BC∥PE，AB∥CD∥GH．

∴∠PEA＝∠ABC＝∠PGC，∠PEB＝∠BAD＝∠PHD．

∵∠BAP＝∠BCP，∠PEA＝∠PGC，

∴△PAE∽△PCG，

∴， ∵四邊形AEPH、BGPE、CDHG都是平行四邊形，

∴AE＝PH，BE＝PG，DH＝CG．

∴又∵∠PEB＝∠PHD，

∴△PBE∽△PDH．

∴∠ABP＝∠ADP．補(bǔ)充條件：．

結(jié)論：∠ABP =∠ADP．（說明：結(jié)論1分，但不重復(fù)得分）

畫出草圖，如圖2．

證明：∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

∵，AB=BC∴AB＝BC．

∴平行四邊形ABCD是菱形．

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC，

連接AC．

∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．

∵∠BAP＝∠BCP，

∴∠CAP＝∠ACP，∴AP＝CP．∵BP＝BP，∴△PAB≌△PCB，

∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC．

∵AD＝CD，AP＝CP，DP＝DP，

∴△PAD≌△PCD，

∴∠ADP＝∠CDP＝∠ADC，∴∠ABP＝∠ADP．