Question

（2012•建寧縣質(zhì)檢）如圖：在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，與y軸相交于D、E兩點(diǎn)．
（1）若拋物線y=

1

4

x2+bx+c經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式，并判斷點(diǎn)B是否在這條拋物線上？
（2）過點(diǎn)E的直線y=kx+m交x軸于F（-

16

3

，0），求此直線的解析式，這條直線是⊙A的切線嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）探索：是否能在（1）中的拋物線上找到一點(diǎn)Q，使直線BQ與x軸正方向所夾銳角的正切值等于

1

4

？若能，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AE，利用垂徑定理可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-4），根據(jù)圓的半徑為5，可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)直線經(jīng)過點(diǎn)E（0，4），可設(shè)直線解析式為y=kx+4，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入可得出直線解析式，分別求出EF2，AF2，AE2，利用勾股定理的逆定理判斷出∠AEF為直角，繼而根據(jù)切線的判定可得出結(jié)論；
（3）由（1）得點(diǎn)B在拋物線上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，

1

4

x²-

3

2

x-4），分別討論點(diǎn)Q的位置，①點(diǎn)Q在x軸上方，②點(diǎn)Q在x軸下方，利用正切值建立方程，解出即可得出答案．

解答：解：連接AE，

由題意得，OD=OE=4，
故可得：C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)為：C（8，0），D（0，-4），
把C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

1

4

x2+bx+c中，
得：

16+8b+c=0 c=-4

，
 解得：b=-

3

2

，
故所求二次函數(shù)為：y=

1

4

x2-

3

2

x-4，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
∴當(dāng)x=-2時(shí)，y=

1

4

×(-2)2-

3

2

×(-2)-4=0，
∴點(diǎn)B在這條拋物線上．

（2）因?yàn)橹本�經(jīng)過點(diǎn)E（0，4），可設(shè)解析式為：y=kx+4，
把點(diǎn)F（-

16

3

，0）代入上式得：k=

3

4

，
故所求一次函數(shù)為：y=

3

4

x+4，
在Rt△OEF中，EF²=OE²+OF²=16+

256

9

=

400

9

，
在△AEF中，AF=3+

16

3

=

25

3

，
即AF2=

625

9

，
∴EF²+AE²=

400

9

+25=

625

9

=AF²，
∴∠AEF=90°，
∴EF是⊙O的切線．
（3）能找到這樣的點(diǎn)Q，
設(shè)存在點(diǎn)Q（x，

1

4

x²-

3

2

x-4），
∵直線BQ與x軸正方向所夾銳角的正切值等于

1

4

，
①若點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，此時(shí)

1 4 x2- 3 2 x-4

x-(-2)

=

1

4

，
解得：x₁=9，x₂=-2（舍去），
故此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（9，

11

4

）；
②若點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，

-( 1 4 x2- 3 2 x-4)

x-(-2)

=

1

4

，
解得：x₁=7，x₂=-2（舍去），
故此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（7，-

9

4

）．
故可得存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)，其坐標(biāo)分別為：（9，

11

4

） 和 （7，-

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合題，涉及了切線的判定、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及三角函數(shù)的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的融會(huì)貫通．