Question

【題目】在△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC 繞頂點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為0 180 ，得到 ABC

（1）求當(dāng)角為多少度時(shí)， CBD 是等腰三角形；

（2）如圖②，連接 AA, BB ，設(shè) ACA , BCB 的面積分別為 S1 , S2 ，求的值；

（3）如圖③，設(shè) AC 的中點(diǎn)為 E， AB 的中點(diǎn)為 P，AC=a，連接 EP，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少時(shí)，EP 長度最大，并求出 EP 的最大值；

Answer 1

【答案】（1）θ＝；（2）；（3） ；

【解析】

（1）分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可求解；
（2）通過證明△A'CA∽△B'CB，可得；

（3）由直角三角形的性質(zhì)可求，由三角形三邊關(guān)系可得EC+CP≥EP，即當(dāng)點(diǎn)P在EC的延長線上時(shí)，EP有最大值，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

解：（1）∵將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
∴∠ABC=∠A'B'C=30°，∠ACA'=∠BCB'=θ，
∵△CB'D是等腰三角形，
①當(dāng)CD=B'D時(shí)，
∴∠BCB'=∠A'B'C=30°=θ
②當(dāng)CB'=CD時(shí)，
∴∠CB'A'=∠CDB'=30°，
∴∠BCB'=120°=θ
③當(dāng)B'C=B'D，且∠A'B'C=30°，
∴∠B'CD=∠B'DC=75°，
綜上所述：當(dāng)θ=30°或120°或75°時(shí)，△CB'D是等腰三角形；
（2）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴tanABC=

∵將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
∴AC=A'C，BC=B'C，∠ACA'=∠BCB'，

，且∠ACA'=∠BCB'，
∴△A'CA∽△B'CB，

；

（3）如圖3，連接CP，

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=a，
∴AB=2a，
∵將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
∴A'B=AB=2a，
∵AC的中點(diǎn)為E，A′B′的中點(diǎn)為P，
∴EC=，CP=A'B=a，
∵在△ECP中，EC+CP≥EP，
∴當(dāng)點(diǎn)P在EC的延長線上時(shí)，EP有最大值，
∴EP最大值=EC+CP=

∵CP=A'C=A'P=a，
∴∠A'CP=60°，
當(dāng)點(diǎn)P在EC的延長線上時(shí)，θ=∠ACA'=180°-∠A'CP=120°．