Question

【題目】如圖,直線y1=kx+2與x軸交于點(diǎn)A(m,0)(m＞4),與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y2=ax2﹣4ax+c(a＜0)經(jīng)過A,B兩點(diǎn).P為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交拋物線于點(diǎn)Q．

（1）當(dāng)m=5時(shí)，

①求拋物線的關(guān)系式；

②設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，用含x的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng)，并求當(dāng)x為何值時(shí)，PQ=；

（2）若PQ長(zhǎng)的最大值為16，試討論關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的個(gè)數(shù)與h的取值范圍的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）①y=﹣x2+x+2；②當(dāng)x=1或x=4時(shí)，PQ=；

（2）當(dāng)h=16時(shí)，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；

當(dāng)h＞16時(shí)，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h沒有實(shí)數(shù)解；

當(dāng)0＜h＜16時(shí)，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個(gè)解．

【解析】試題分析：（1）①有m=5得到A點(diǎn)坐標(biāo)，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式求出k得到y1=﹣x+2，接著計(jì)算自變量為0時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可得B點(diǎn)坐標(biāo)，然后把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y2=ax2﹣4ax+c得到a和c的方程組，再解方程組求出a、c即可得到拋物線解析式；②利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x+2），Q（x，﹣x2+x+2），則可表示出PQ=﹣x2+2x，然后利用PQ=得到﹣x2+2x=，然后解方程即可；（2）設(shè)P（x，kx+2），則Q（x，ax2﹣4ax+2），PQ的長(zhǎng)用l表示，則易得l=ax2﹣（4a+k）x，再利用PQ長(zhǎng)的最大值為16大致畫出l與x的二次函數(shù)圖象，由于一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的情況可看作為二次函數(shù)l=ax2﹣4ax﹣kx與直線l=h的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則利用函數(shù)圖象可判斷當(dāng)h=16時(shí)，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)h＞16時(shí)，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h沒有實(shí)數(shù)解；當(dāng)0＜h＜16時(shí)，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個(gè)解．

試題解析：

（1）①∵m=5，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），

把A（5，0）代入y1=kx+2得5k+2=0，解得k=﹣，∴直線解析式為y1=﹣x+2，

當(dāng)x=0時(shí)，y1=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）．

將A（5，0），B（0，2）代入，得，解得，

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+x+2；

②設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣ x+2），則Q（x，﹣ x2+x+2），

∴PQ=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，而PQ=，

∴﹣x2+2x=，解得：x1=1，x2=4，∴當(dāng)x=1或x=4時(shí)，PQ=；

（2）設(shè)P（x，kx+2），則Q（x，ax2﹣4ax+2），PQ的長(zhǎng)用l表示，

∴l=ax2﹣4ax+2﹣（kx+2）=ax2﹣（4a+k）x，∵PQ長(zhǎng)的最大值為16，如圖，

當(dāng)h=16時(shí)，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；

當(dāng)h＞16時(shí)，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h沒有實(shí)數(shù)解；

當(dāng)0＜h＜16時(shí)，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個(gè)解．