Question

如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B，∠C的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB，AC于E，F．

    (1) 圖中有幾個(gè)等腰三角形? 猜想：EF與BE，CF之間有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

    (2) 如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎? 如果有，分別指出它們?cè)诘?1)問(wèn)中EF與BE，CF間的關(guān)系還存在嗎?

    (3) 如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎? EF與BE，CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由．

Answer 1

(1) 圖中有5個(gè)等腰三角形，EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，                    且這兩個(gè)三角形均為等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；

(2) 還有兩個(gè)等腰三角形，為△BEO，△CFO，如圖②所示，∵                       EF∥BC，∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1=3，∴△BEO為等腰三角形，在△CFO中，同理可證．∴EF=BE+CF存在．  (3)有等腰三角形：△BEO，△CFO，此時(shí)EF=BE－CF，∵如圖③所示，OE∥BC，∴∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可證△CFO是等腰三角形，∵BE=EO，OF=FC，∴BE=EF+FO=EF+CF，∴EF=BE－CF．