Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別是AC、BC上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)A、C重合），連接EF并取EF的中點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接DE、GE、GF.

（1）求證：四邊形EDFG是平行四邊形；

（2）若，探究四邊形EDFG的形狀？

（3）在（2）的條件下，當(dāng)E點(diǎn)在何處時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）當(dāng)E點(diǎn)在AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDGF的面積最小為4.

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；

（2）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A＝∠DCF＝45°、AD＝CD，結(jié)合AE＝CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE＝DF、ADE＝∠CDF，通過角的計(jì)算可得出∠EDF＝90°，再根據(jù)（1）中的結(jié)論，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；

（3）過點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長(zhǎng)度，從而得出2≤DE＜2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．

（1）證明：∵O是EF的中點(diǎn)，

∴OE＝OF，

∵OG＝OD，

∴四邊形EDFG是平行四邊形；

（2）解：四邊形EDFG是正方形，理由是：

連接CD，如圖1所示，

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，

∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD．

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF．

∵∠ADE＋∠EDC＝90°，

∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，

由（1）知：四邊形EDFG是平行四邊形；

∴四邊形EDFG是正方形；

（3）解：過點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，如圖2所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，

∴DE′＝BC＝2，AB＝4，點(diǎn)E′為AC的中點(diǎn)，

∴2≤DE＜2（點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合時(shí)取等號(hào)）．

∴4≤S四邊形EDFG＝DE2＜8．

∴當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．