如圖,RT△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,E為BC的中點,連接DE.
(1)求證:DE為圓的切線;
(2)若BC=5,sin∠C=,求AD的長.

【答案】分析:(1)連接OD、BD,根據(jù)圓周角定理求出∠BDA=∠BDC=90°,根據(jù)直角三角形的性質和等腰三角形的性質求出∠ECD=∠EDC,∠EBD=∠EDB即可.
(2)根據(jù)BC=5,sin∠C=,求出AC的長,再根據(jù)切割線定理求出AD的長即可.
解答:(1)證明:連接OD、BD,
∵AB為圓O的直徑,
∴∠BDA=90°,
∴∠BDC=180°-90°=90°,
∵E為BC的中點,
∴DE=BC=BE,
∴∠EBD=∠EDB,
∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
∵∠EBD+∠DBO=90°,
∴∠EDB+∠ODB=90°,
∴∠ODE=90°,
∴DE是圓0的切線.

(2)解:∵sin∠C=
∴設AB=3x,AC=5x,
根據(jù)勾股定理得:(3x)2+52=(5x)2,
解得x=
AC=5×=
由切割線定理可知:52=(-AD),
解得,AD=
點評:本題主要考查對勾股定理,等腰三角形的性質,直角三角形斜邊上的中線的性質,切線的判定,圓周角定理,銳角三角函數(shù)等知識點的理解和掌握,能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵.
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(2)求AD的長.

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