如圖①所示,在正方形ABCD中,M是AB的中點,E是AB的延長線上一點,MN⊥DM,且交∠CBE的平分線于點N.
(1)求證:MD=MN;
(2)若將上述條件中“M是AB的中點”改成“M是AB上任意一點”,其余條件不變,如圖②所示,則結(jié)論“MD=MN”還成立嗎?若成立,給出證明;若不成立,請說明理由.
(1)證明:如圖①所示,取AD的中點F,連接MF.
∵M(jìn)是AB的中點,F(xiàn)是AD的中點,
∴,.
∵AB=AD,∴AF=AM=DF=MB,
∵∠1=45°,∴∠DFM=135°.
∵BN平分∠CBE,∴∠CBN=45°.
∴∠MBN=135°,∴∠MBN=∠DFM.
∵M(jìn)N⊥DM,∴△DMN=90°,∴∠NMB+∠DMA=90°.
∵∠A=90°,∴∠ADM+∠DMA=90°.
∴∠NMB=∠ADM.
∴△DFM≌△MBN.∴MD=MN.
(2)MD=MN仍成立.
證明:如圖②,在AD上取點F,使AF=AM,連接MF.
由(1)中證法可得DF=BM,∠DFM=∠MBN,∠FDM=∠BMN,
∴△DFM≌△MBN,∴MD=MN.
【解析】
試題分析:(1)證MD=MN,可證它們所在的三角形全等,易知MN在鈍角△MBN中,而MD在直角△AMD中,顯然需添加輔助線構(gòu)造全等三角形,由△MBN的特征想到可在AD上取AD的中點F,構(gòu)造△MDF;(2)可參照第(1)題的方法論證.
證明:(1)如圖①所示,取AD的中點F,連接MF.
∵M(jìn)是AB的中點,F(xiàn)是AD的中點,
∴,.
∵AB=AD,∴AF=AM=DF=MB,
∵∠1=45°,∴∠DFM=135°.
∵BN平分∠CBE,∴∠CBN=45°.
∴∠MBN=135°,∴∠MBN=∠DFM.
∵M(jìn)N⊥DM,∴△DMN=90°,∴∠NMB+∠DMA=90°.
∵∠A=90°,∴∠ADM+∠DMA=90°.
∴∠NMB=∠ADM.
∴△DFM≌△MBN.∴MD=MN.
(2)MD=MN仍成立.
證明:如圖②,在AD上取點F,使AF=AM,連接MF.
由(1)中證法可得DF=BM,∠DFM=∠MBN,∠FDM=∠BMN,
∴△DFM≌△MBN,∴MD=MN.
【難度】困難
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
關(guān)于函數(shù),下列敘述正確是 ( )
A.函數(shù)圖象經(jīng)過點(1,2) B.函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限
C.隨的增大而減小 D.不論取何值,總有
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
某校舉辦了一次知識競賽,滿分10分,學(xué)生得分均為整數(shù),成績達(dá)到6分以上(包括6分)為合格,達(dá)到9分以上(包括9分)為優(yōu)秀.這次競賽中甲、乙兩組學(xué)生成績分布的條形統(tǒng)計圖如圖所示.
(1)補(bǔ)充完成下面的成績統(tǒng)計分析表:
(2)小明同學(xué)說:“這次競賽我得了7分,在我們小組中排名屬中游偏上!”觀察上表可知,小明是 組的學(xué)生;(填“甲”或“乙”)
(3)甲組同學(xué)說他們組的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組,所以他們組的成績好于乙組.但乙組同學(xué)不同意甲組同學(xué)的說法,認(rèn)為他們組的成績要好于甲組,請你給出兩條支持乙組同學(xué)觀點的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,已知在四邊形ABCD中,AB=20cm,BC=15 cm,CD=7 cm,AD=24 cm,∠ABC=90°。猜想∠A與∠C關(guān)系并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,ABCD中,點E、F在BD上,且BF=DE.
(1)寫出圖中所有你認(rèn)為全等的三角形;
(2)延長AE交BC的延長線于G,延長CF交DA的延長線于H(請補(bǔ)全圖形),證明四邊形AGCH是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
下表是我市某一天在不同時段測得的氣溫情況
0︰00 | 4︰00 | 8︰00 | 12︰00 | 16︰00 | 18︰00 |
25 ℃ | 27 ℃ | 29 ℃ | 32 ℃ | 34 ℃ | 30 ℃ |
則這一天氣溫的極差是 ℃.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC⊥BD,垂足為O,點E、F、G、H分別為邊AD、AB、BC、CD的中點.若AC=8,BD=6,則四邊形EFGH的面積為 .
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