Question

【題目】解答題

（1）如圖1，在AB直線一側(cè)C、D兩點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P，使C、D、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出此點(diǎn)并說(shuō)明理由．
（2）如圖2，在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，在∠AOB內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、M、N，四點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，作C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，

連接C′D交AB于點(diǎn)P．

則點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)．

理由：在l上取不同于P的點(diǎn)P′，連接CP′、DP′．

∵C和C′關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴PC=PC′，P′C=P′C′，

而C′P+DP＜C′P′+DP′，

∴PC+DP＜CP′+DP′

∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′

即△CDP周長(zhǎng)小于△CDP′周長(zhǎng)

（2）

解：如圖2，作P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F，

則點(diǎn)E，F(xiàn)就是所要求作的點(diǎn)．

理由：在OA，OB上取不同于E，F(xiàn)的點(diǎn)E′，F(xiàn)′，連接CE′、E′P′，

∵C和P關(guān)于直線OA對(duì)稱，

∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，

∵PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′，

∴CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，′

∴PE+EF+PF＜PE′+PF′+E′F′

（3）

解：如圖3，作M關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F，

則點(diǎn)E，F(xiàn)就是所要求作的點(diǎn)．

理由：在OA，OB上取不同于E，F(xiàn)的點(diǎn)E′，F(xiàn)′，連接CE′、E′P′，

∵C和P關(guān)于直線OA對(duì)稱，

∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，

由（2）得知MN+ME+EF+MF＜ME′+E′F′+F′D．

【解析】（1）由于△PCD的周長(zhǎng)=PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直線l上找一點(diǎn)P，使PC+PD最�。�如果設(shè)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最��；（2）作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD角OA、OB于E、F．此時(shí)△PEF周長(zhǎng)有最小值；（3）如圖3，作M關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F，此時(shí)使得E、F、M、N，四點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)最短．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解軸對(duì)稱的性質(zhì)(關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上)，還要掌握軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題(已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．