Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2﹣6x+5的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接BC．

（1）直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，B　　；C　　．

（2）點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，連接PB、PC．若△PBC的面積15，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）設(shè)E為線段BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AE，一動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AE以每秒一個單位速度運(yùn)動到E點(diǎn)，再沿線段EC以每秒2個單位的速度運(yùn)動到C后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是　　時，點(diǎn)M在整個運(yùn)動中用時最少，最少用時是　　秒．

（4）若點(diǎn)Q在y軸上，當(dāng)∠AQB取得最大值時，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)　　．

Answer 1

【答案】（1）（0，5）；（5，0）;（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，﹣3 ）、（3，﹣4 ）、（﹣1，10 ）或（6，5 ）;（3）（4， ），(2+1);（4）（3，）.

【解析】

（1）將x＝0和y＝0分別代入y=x2﹣6x+5，即可求得B、C的坐標(biāo)；（2）設(shè)x軸上點(diǎn)D，使得△DBC的面積15，求出BD的長，再求直線BC的解析式，得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（11，0），分類討論D坐標(biāo)為（﹣1，0）與（11，0）的情況，根據(jù)過點(diǎn)D平行于BC的直線l與拋物線交點(diǎn)為滿足條件的P求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由已知，當(dāng)AE最短時，M用時最少，當(dāng)AE⊥BC于點(diǎn)E時，AE最短，根據(jù)三角函數(shù)求得AE與EB的長，進(jìn)而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)以及M點(diǎn)運(yùn)動的最少時間；（4）以AB邊為弦作圓，圓心F在x軸上方，當(dāng)圓半徑越大，x軸上方的點(diǎn)與AB兩點(diǎn)連線夾角越大

當(dāng)圓F與y軸切于點(diǎn)Q時，∠AQB取得最大值，如圖，連FA、FB、FQ，作FH⊥AB于點(diǎn)H，求出QF與FH的長，即可求得點(diǎn)Q坐標(biāo).

解：（1）當(dāng)x=0時，y=5

當(dāng)y=0時， x2﹣6x+5=0

解得

x1=1，x2=5

故答案為：（0，5）；（5，0）

（2）設(shè)x軸上點(diǎn)D，使得△DBC的面積15.

∴BDOC＝15，

解得BD=6

∵C（0，5）；B（5，0）

則可求直線BC解析式為：y=﹣x＋5x

故點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，0）或（11，0）

當(dāng)D坐標(biāo)為（﹣1，0）時，過點(diǎn)D平行于BC的直線l與拋物線交點(diǎn)為滿足條件的P

則可求得直線l的解析式為：y=﹣x－

求直線l與拋物線交點(diǎn)得：

x2﹣6x+5=﹣x－

解得

x1=2，x2=3

則P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）或（3，﹣4）

同理當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為（11，0）時，直線l的解析式為y=﹣x＋11

求直線l與拋物線交點(diǎn)得：

x2﹣6x+5=﹣x＋11

解得

x1=﹣1，x2=6

則點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，10），（6，5）

綜上滿足條件P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，﹣3）、（3，﹣4）、（﹣1，10）或（6，5）

（3）由已知，當(dāng)AE最短時，M用時最少

則AE⊥BC于點(diǎn)E，由已知，∠ABC=60°，AB=4

∴AE=2，EB=2

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，），點(diǎn)M在整個運(yùn)動中用時最少為（2＋1）秒

故答案為：（4，），（2＋1）

（4）以AB邊為弦作圓，圓心F在x軸上方，當(dāng)圓半徑越大，x軸上方的點(diǎn)與AB兩點(diǎn)連線夾角越大

當(dāng)圓F與y軸切于點(diǎn)Q時，∠AQB取得最大值．

如圖：連FA、FB、FQ，作FH⊥AB于點(diǎn)H

則可知AH=2

∴QF=OH=3

∴FH=＝

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3，）

故答案為：（3，）