Question

【題目】如圖1，拋物線與軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).直線經(jīng)過點(diǎn)，與拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上方，且是以為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，連接，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，線段為較長(zhǎng)直角邊，構(gòu)造兩直角邊比為1：2的，是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)恰好落在直線上?若存在，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)（寫出兩個(gè)即可）；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的坐標(biāo)是或；（3）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3或2或、.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）先把C點(diǎn)代入直線CD中求出m的值，表示P（m，-m2+2m+3）、E（m，-m+3），
當(dāng)△CPE是以CE為腰的等腰三角形時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)CE=CP時(shí)，過C作CG⊥PF于G，根據(jù)OC=FG列方程解出即可；
②當(dāng)CE=PE時(shí)，先表示CE、EG、CG的長(zhǎng)，利用勾股定理得：CG2+EG2=CE2，列方程解出即可；
（3）先根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上，G在直線y=x上設(shè)P（m，-m2+2m+3），G（a，a），
如圖3，作輔助線，構(gòu)建兩個(gè)相似三角形，證明△PHG∽△BNP，則，由兩直角邊比為1：2列方程組解出橫坐標(biāo)m；
如圖4，同理列方程組解出m的值．

解： ⑴將A（-1，0），C（0,3）代入得

解得：

所以拋物線的解析式是；

⑵把代入直線得：，∴直線的解析式為：，

設(shè)，

①當(dāng)時(shí)，如上圖，在圖1中做輔助線，過作于，

∴，

∵，∴，∴，∵，

∴，解得：，

當(dāng)時(shí)，，∴，

②當(dāng)時(shí)，在中，，，

由勾股定理得：，，解得：（舍），，

當(dāng)時(shí)，，∴，綜上所述，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是或；

（3）

設(shè)P（m，-m2+2m+3），G（a，a），
如圖3，過B作BN∥y軸，過P作PH∥x軸，交于N，過G作GH⊥PN，垂足為H，則∠PHG=∠BNP=90°，
∴∠NBP+∠BPN=90°，
∵∠BPG=90°，
∴∠BPN+∠NPG=90°，
∴∠NBP=∠NPG，
∴△PHG∽△BNP，
∴，
∵，
∴，
∴

則，
解得：m1=-3，m2=2；

如圖4，過P作NH∥x軸，過G作GN⊥NH，過B作BH⊥NH，垂足分別為N、H，
同理得：△PNG∽△BHP，
∴，

∴解得：m=

綜上所述，相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3或2或、.