Question

【題目】已知：點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC．

（1）如圖1，若點O在邊BC上，求證：AB=AC；

（2）如圖2，若點O在△ABC的內部，求證：AB=AC；

（3）若點O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫出圖表示．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不一定.

【解析】

試題分析：（1）求證AB=AC，就是求證∠B=∠C，可通過構建全等三角形來求．過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，那么可以用斜邊直角邊定理（HL）證明Rt△OEB≌Rt△OFC來實現(xiàn)；

（2）思路和輔助線同（1）證得Rt△OEB≌Rt△OFC后，可得出∠OBE=∠OCF，等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB，因此∠OBC=∠OCB，那么OB=OC；

（3）不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時，有AB=AC；否則，AB≠AC．

試題解析：（1）過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由題意知，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由題意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，

∵在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠OBE=∠OCF，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時AB=AC，否則AB≠AC．（如示例圖）