Question

【題目】如圖，ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，點(diǎn)O在BC邊的中線AD上，OB 平分∠ABC，⊙O與BC相切于點(diǎn)E．

（1）求證：AB為⊙O的切線；

（2）求⊙O的半徑；

（3）求tan∠BAD．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

（1）作OF垂直AB于點(diǎn)F，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可證得OE=OF，從而證得結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理求得BC，進(jìn)而求得CD=DB=2，設(shè)⊙O的半徑為r，然后根據(jù)S△ACD+S△COB+S△AOB=S△ABC，得到ACCD+BDr+ACBC，解關(guān)于r的方程即可求得半徑；

（3）證得Rt△ODE∽Rt△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得DE=，即可求得BF=BE=，AF=AB-BF=，解直角三角形即可求得．

解：（1）證明：如圖，作OF⊥AB于點(diǎn)F，

∵⊙O與BC相切于點(diǎn)E，

∴OE⊥BC

又∵OB 平分∠ABC

∴OE=OF，

∴AB為⊙O的切線

（2）∵∠C=90°，AC=6，AB=10，

∴由勾股定理得BC=8，

又D為BC的中點(diǎn)，

∴CD=DB=4，

設(shè)⊙O的半徑為r，

∵S△ACD+S△BOD+S△AOB=S△ABC

∴12+2r+5r=24 ，解得r=

∴⊙O的半徑為

（3）解：∵∠C=90°，OE⊥BC，

∴OE∥AC，

∴Rt△ODE∽Rt△ADC，

∴，

∴DE=，

又OE=OF，OB=OB

∴Rt△BOE≌Rt△BOF

∴BF=BE=，

∴AF=AB﹣BF=

∴．/span>