Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，現(xiàn)將Rt△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△DEC（如圖①）

（1）請(qǐng)判斷ED與AB的位置關(guān)系，并說明理由．

（2）如圖②，將Rt△DEC沿CB方向向右平移，且使點(diǎn)D恰好落在AB邊上，記平移后的三角形為Rt△DEF，連接AE、DC，求證：∠ACD=∠AED．

Answer 1

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平移的性質(zhì)．

【專題】證明題．

【分析】（1）延長(zhǎng)ED交AB于F，如圖①，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A=∠E，再利用∠A+∠B=90°得到∠E+∠B=90°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易得∠EFB=90°，于是利用垂直的定義可判斷ED⊥AB；

（2）如圖②，先利用平移的性質(zhì)和（1）中的結(jié)論得到DE⊥AB，即∠ADE=90°，則利用圓周角定理的推論得到點(diǎn)C和點(diǎn)D在以AE為直徑的圓上，然后根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．

【解答】（1）解：ED⊥AB．理由如下：

延長(zhǎng)ED交AB于F，如圖①，

∵Rt△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△DEC，

∴∠A=∠E，

∵∠A+∠B=90°

∴∠E+∠B=90°

∴∠EFB=90°

∴ED⊥AB；

（2）證明：如圖②，

∵將Rt△DEC沿CB方向向右平移，且使點(diǎn)D恰好落在AB邊上，

∴DE⊥AB，

∴∠ADE=90°，

∵∠ACE=90°，

∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在以AE為直徑的圓上，

∴∠ACD=∠AED．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決（2）的關(guān)鍵是確定點(diǎn)C和點(diǎn)D在以AE為直徑的圓上，從而利用圓周角定理求解．