Question

如圖9，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是線段AD上的一個動點(E與A、D不重合)，G、F、H分別是BE、BC、CE的中點．

 (1)試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由；

 (2)當點E運動到什么位置時，四邊形EGFH是菱形?并加以證明；

 (3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，請?zhí)剿骶�段EF與線段BC的關系，并證明你的結論．

Answer 1

解（1）四邊形EGFH是平行四邊形

證明：∵G、F、H分別是BE、BC、CE的中點，

∴GF∥EH,GF=EH

∴四邊形EGFH是平行四邊形

（2）當點E是AD的中點時，四邊形EGFH是菱形

證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴AB=CD,∠A=∠D

∵AE=DE

∴△ABE≌△DCE

∴BE=CE

∵G、H分別是BE、CE的中點

∴EG=EH              

又由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形

∴四邊形EGFH是菱形

（3）EF⊥BC，EF=BC

證明：∵四邊形EGFH是正方形

∴EG=EH, ∠BEC=90°

∵G、H分別是BE、CE的中點

∴EB=EC        

∵F是BC的中點

∴EF⊥BC，EF=BC

用其它證明方法也得分,過程略。