Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿過(guò)B點(diǎn)的一條直線BE折疊這個(gè)三角形， 使C點(diǎn)與AB邊上的一點(diǎn)D重合．

(1)當(dāng)∠A滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)?寫出一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件，并利用此條件證明D為AB的中點(diǎn)；

(2)在(1)的條件下，若DE＝1，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠A=30°；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)：△BCE≌△BDE，BC=BD，當(dāng)點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)時(shí)，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；當(dāng)添加條件∠A=30°時(shí)，由折疊性質(zhì)知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可證：D為AB的中點(diǎn)；

（2）在Rt△ADE中，根據(jù)∠A，ED的值，可將AE、AD的值求出，又D為AB的中點(diǎn)，可得AB的長(zhǎng)度，在Rt△ABC中，根據(jù)AB、∠A的值，可將AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC進(jìn)行求解即可．

解：（1）添加條件是∠A=30°．

證明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，

∵C點(diǎn)折疊后與AB邊上的一點(diǎn)D重合，

∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，

∴∠EBD=30°，

∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；

∵ED為△EAB的高線，所以ED也是等腰△EBA的中線，

∴D為AB中點(diǎn)．

（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．

在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得AD==，

∴AB=2，∵∠A=30°，∠C=90°，

∴BC=AB=．

在Rt△ABC中，AC==3，

∴S△ABC=×AC×BC=．