Question

【題目】如圖①，在中，為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接．

（觀察猜想）

（1）①的數(shù)量關(guān)系是___________

②的數(shù)量關(guān)系是______________

（類比探究）

（2）將圖①中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

（拓展遷移）

（3）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)在同一直線上時(shí)的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）成立，證明見解析；（3）的長(zhǎng)為或

【解析】

（1）①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到答案；

②由①知，利用等邊對(duì)等角和三角形的外角性質(zhì)，得到，，然后即可得到答案；

（2）①過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，EF與交于點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，證明，即可得到結(jié)論成立；

②由全等三角形的性質(zhì)，求出∠OEC=90°，即可得到結(jié)論成立；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)在同一直線上可分為兩種情況：①點(diǎn)C在線段OB上；②點(diǎn)C在OB的延長(zhǎng)線上；利用等腰直角三角形的性質(zhì)，分別求出OE的長(zhǎng)度，即可得到答案.

解：（1）如圖，在△AOD和△ACD中，

∵，為AD中點(diǎn)，

，

，E為AD中點(diǎn)，

，

；

②，為AD中點(diǎn)，

，

∴；

同理可得：，

，

．

（2）成立．

證明：①如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與交于點(diǎn)，

∵是等腰三角形，

∴

∵，

∴，

∴，

∴均為等腰直角三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴；

②，

∴，

，

，

；

（3）的長(zhǎng)為或；

∵在等腰直角中，，

，

由（2）可知，，，

∴是等腰直角三角形，

∴；

當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，有

①點(diǎn)C在線段OB上；如圖：

∴，

∴；

②點(diǎn)C在OB的延長(zhǎng)線上；如圖：

∴，

∴；

綜上所述，的長(zhǎng)為或；