Question

已知拋物線與x軸交于A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)AC、BC，D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向右側(cè)作正方形CDEF，連結(jié)BF．若S_△OBC=8，AC=BC
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：BF⊥AB；
（3）求∠FBE；
（4）當(dāng)D點(diǎn)沿x軸正方向移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E也隨著運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)E所走過的路線長(zhǎng)是______．

Answer 1

解：（1）如圖，∵AC=BC，
∴該拋物線的對(duì)稱軸是y軸，則b=0．
∴C（0，c），B（，0）．
∵S_△OBC=8，
∴OC•OB=×c×=8，解得c=4（c＞0）．
故該拋物線的解析式為y=-x²+4；

（2）證明：由（1）得到拋物線的解析式為y=-x²+4；
令y=0，得x₁=4，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形；
如圖，又∵四邊形CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）如圖，連接BE，過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M．
易證△ODC≌△DME，則DM=OC=4，OD=EM．
∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，
∴BM=EM．
∵∠EMB=90°，
∴∠MBE=∠MEB=45°；
由（2）知，BF⊥AB，
∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，點(diǎn)E在定直線上，當(dāng)點(diǎn)D沿x軸正方向移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E所走過的路程長(zhǎng)等于BC=4．故答案是：4．
分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為y軸，則b=0；然后利用方程與二次函數(shù)的關(guān)系求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，由S_△OBC=8可以求得c的值；
（2）由拋物線y=-x²+4交x軸于點(diǎn)A、B，當(dāng)x=0，求出圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及y=0，求出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出三角形的形狀；首先證明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；
（3）如圖，連接BE，過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M．易證△ODC≌△DME，則DM=OC=4，OD=EM．易求BM=EM．則∠MBE=∠MEB=45°；由（2）知，BF⊥AB，故
∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；
（4）由（3）知，點(diǎn)E在定直線上，當(dāng)點(diǎn)D沿x軸正方向移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E所走過的路程長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（4）中弄清點(diǎn)E所走過的路程是解題的關(guān)鍵．