Question

如圖，正方形ABCD的邊長是3，點P是直線BC上一點，連接PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，在直線BA上取點F，使BF＝BP，且點F與點E在BC同側，連接EF，CF．

(1)如圖①，當點P在CB延長線上時，求證：四邊形PCFE是平行四邊形；

(2)如圖②，當點P在線段BC上時，四邊形PCFE是否還是平行四邊形，說明理由；

(3)在(2)的條件下，四邊形PCFE的面積是否有最大值？若有，請求出面積的最大值及此時BP長；若沒有，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證法一：如圖① 　　∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBA＝90° 　　又∵BP＝BF 　　∴△PBA≌△FBC　1分 　　∴PA＝FC∠PAB＝∠FCB 　　又∵PA＝PE　∴PE＝FC　2分 　　∵∠PAB＋∠APB＝90° 　　∴∠FCB＋∠APB＝90° 　　又∵∠EPA＝90° 　　∴∠APB＋∠EPA＋∠FPC＝180° 　　即∠EPC＋∠PCF＝180° 　　∴EP∥FC　4分 　　∴四邊形EPCF是平行四邊形．　5分 　　 　　 　　證法二：延長CF與AP相交于點G，如圖② 　　∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBA＝90° 　　又∵BP＝BF 　　∴△PBA≌△FCB　1分 　　∴∠PAB＝∠FCB，AP＝CF 　　又∵PA＝PE　∴PE＝FC　2分 　　∵∠PAB＋∠APB＝90°∴∠FCB＋∠APB＝90° 　　∴∠PGC＝90°∴∠PGC＝∠APE＝90°∴EP∥FC　4分 　　∴四邊形EPCF是平行四邊形．　5分 　　(2)證法一：結論：四邊形EPCF是平行四邊形，如圖③　6分 　　∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴AB＝BC，∠ABC＝∠CBF＝90° 　　又∵BP＝BF　∴△PBA≌△FBC　7分 　　∴PA＝FC　∠PAB＝∠FCB 　　又∵PA＝PE　∴PE＝FC　8分 　　∵∠FCB＋∠BFC＝　90° 　　∠EPB＋∠APB＝　90° 　　∴∠BPE＝∠FCB 　　∴EP∥FC　9分 　　∴四邊形EPCF是平行四邊形．　10分 　　證法二：結論：四邊形EPCF是平行四邊形　6分 　　延長AP與FC相交于點G如圖④ 　　∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴AB＝BC，∠ABC＝∠CBF＝90° 　　又∵BP＝BF∴△PBA≌△FBC　7分 　　∴PA＝FC　∠PAB＝∠FCB 　　又∵PA＝PE　∴PE＝FC　8分 　　∵∠FCB＋∠BFC＝90° 　　∴∠PAB＋∠BFC＝90° 　　∴∠PGF＝90° 　　∴∠PGF＝∠APE＝90° 　　∴EP∥FC　9分 　　∴四邊形EPCF是平行四邊形．　10分 　　(3)解：設BP＝x，則PC＝3－x平行四邊形PEFC的面積為S，　11分 　　S＝PC·BF＝PC·PB＝　12分 　　當時，s最大＝　13分 　　∴當BP＝時，四邊形PCFE的面積最大，最大值為．　14分