Question

如圖所示，已知：矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線EF與AB、CD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）當(dāng)EF與AC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是菱形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的性質(zhì)：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；
（2）當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．根據(jù)已知條件可證明四邊形AECF是平行四邊形，當(dāng)EF⊥AC，可根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴OB=OD（矩形的對(duì)角線互相平分）
AE∥CF（矩形的對(duì)邊平行）
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF
∴△BOE≌△DOF（AAS）；

（2）當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴OA=OC（矩形的對(duì)角線互相平分）
又∵△BOE≌△DOF
∴OE=OF
∴四邊形AECF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和菱形的判定．解答此題的關(guān)鍵是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定與性質(zhì)定理．