如圖所示,已知:矩形ABCD中,O是AC與BD的交點,過點O的直線EF與AB、CD的延長線分別交于點E、F.
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)當(dāng)EF與AC滿足什么條件時,四邊形AECF是菱形?并證明你的結(jié)論.

【答案】分析:(1)由矩形的性質(zhì):OB=OD,AE∥CF證得△BOE≌△DOF;
(2)當(dāng)EF⊥AC時,四邊形AECF是菱形.根據(jù)已知條件可證明四邊形AECF是平行四邊形,當(dāng)EF⊥AC,可根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定.
解答:證明:(1)∵四邊形ABCD是矩形
∴OB=OD(矩形的對角線互相平分)
AE∥CF(矩形的對邊平行)
∴∠E=∠F,∠OBE=∠ODF
∴△BOE≌△DOF(AAS);

(2)當(dāng)EF⊥AC時,四邊形AECF是菱形.
證明:∵四邊形ABCD是矩形
∴OA=OC(矩形的對角線互相平分)
又∵△BOE≌△DOF
∴OE=OF
∴四邊形AECF是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)
∵EF⊥AC,
∴四邊形AECF是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形).
點評:本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和菱形的判定.解答此題的關(guān)鍵是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定與性質(zhì)定理.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

26、如圖所示,已知:矩形ABCD中,O是AC與BD的交點,過點O的直線EF與AB、CD的延長線分別交于點E、F.
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)當(dāng)EF與AC滿足什么條件時,四邊形AECF是菱形?并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

25、(體驗探究題)如圖所示,已知一矩形ABCD中,AB=2BC,點E在邊DC上,且AE=AB,則∠EBC的度數(shù)為
15
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如圖所示,已知:矩形ABCD中,O是AC與BD的交點,過點O的直線EF與AB、CD的延長線分別交于點E、F.
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)當(dāng)EF與AC滿足什么條件時,四邊形AECF是菱形?并證明你的結(jié)論.

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如圖所示,已知:矩形ABCD中,O是AC與BD的交點,過點O的直線EF與AB、CD的延長線分別交于點E、F.
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)當(dāng)EF與AC滿足什么條件時,四邊形AECF是菱形?并證明你的結(jié)論.

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