Question

【題目】等邊△ABC中，點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿CA方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，交AB于點(diǎn)M．

（1）如圖①，當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，求證：AP＝AM．

（2）如圖②，試說(shuō)明：在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PM＝QM．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）過(guò)A作AD⊥BC于D，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAD，證出PQ∥AD，由平行線的性質(zhì)得出∠P=∠DAC，∠AMP=∠BAD，得出∠P=∠AMP，即可得出結(jié)論；
（2）過(guò)Q作QE∥AC交AB于E，證出△BQE是等邊三角形，得出BQ=EQ，證出EQ=AP，證明△PMA≌△QME（AAS），即可得出PM=QM．

（1）證明：過(guò)A作AD⊥BC于D，如圖①所示：

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，

∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，

∵AD⊥BC，PQ⊥BC，

∴PQ∥AD，

∴∠P＝∠DAC，∠AMP＝∠BAD，

∴∠P＝∠AMP，

∴AP＝AM；

（2）證明：過(guò)Q作QE∥AC交AB于E，如圖②所示：

則∠BEQ＝∠BAC，∠BQE＝∠C，∠P＝∠EQM，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠BAC＝∠C＝60°，

∴∠B＝∠BEQ＝∠BQE，

∴△BQE是等邊三角形，

∴BQ＝EQ，

∵AP＝BQ，

∴EQ＝AP，

在△PMA和△QME中，，

∴△PMA≌△QME（AAS），

∴PM＝QM．