Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)（1，0）且與y軸平行的直線，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)；

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若tan∠PCB= ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)y=0時(shí)，（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3=0，

解得x1= ，x2=3，即A（ ，0）B（3，0），

由A，B關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，得

=﹣1，解得m=2，

即A（﹣1，0），

函數(shù)解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：由四邊形ABPQ是平行四邊形，得

PQ∥AB，PQ=AB=4，

當(dāng)PQ=4，即x=4時(shí)，y=5，即P（4，5）；

當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=21，即P（﹣4，21），

綜上所述：四邊形ABPQ是平行四邊形P（4，5），（﹣4，21）；

（3）

解：如圖

，

過(guò)P作PQ⊥x軸于Q，交CB延長(zhǎng)線于R，過(guò)P作PH⊥BC于H，

設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），

∵拋物線y=x2﹣4x+3與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，

∴x=0，則y=﹣3；

y=0，則0=x2﹣4x+3，

解得：x1=﹣1，x2=3，

故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

則 ，

解得： ，

故直線BC解析式：y=x﹣3，

∴R（m，m﹣3），PR=m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）=m2﹣3m，

∵OB=OC=3，

∴∠CBQ=135°，

∴∠HPR=45°，

∵CO=OB，

∴∠OCR=45°，

∴CR= OQ= m，

∴PH=RH=PR÷ = m（m﹣3），

又CR= OQ= m，

∴CH= m+ m（m﹣3）

= m（m+1）

由tan∠PCB= = = ，

解得：m=7，

則m2﹣2m﹣3=32，

故P（7，32）．

【解析】（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值得對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得A，B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可得m的值；（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，可得PQ的長(zhǎng)，根據(jù)解方程，可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值得對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)題意首先得出直線BC的解析式，進(jìn)而利用PR的長(zhǎng)結(jié)合tan∠PCB=2得出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出答案．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．