Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=24，M是BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段AD上的一點(diǎn)，連接AM、PM，△PAM是以AP為腰的等腰三角形，則AP的長(zhǎng)為　　　　　　．

Answer 1

　13或　．

 

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等腰三角形的判定；勾股定理．

【專題】分類討論．

【分析】分兩種情況：①當(dāng)AP=AM時(shí)，根據(jù)勾股定理求出AM即可得出AP；

（2）當(dāng)AP=MP時(shí)，P在AM的垂直平分線上，證明△PEA∽△ABM，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出AP．

【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)AP=AM時(shí)，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠BAD=90°，AD∥BC，

∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，

∴BM=BC=12，

∴AM===13，

∴AP=13；

（2）當(dāng)AP=MP時(shí)，P在AM的垂直平分線上，如圖所示：

則∠AEP=90°=∠B，AE=AM=，

∵AD∥BC，

∴∠PAE=∠AMB，

∴△PEA∽△ABM，

∴，即，

解得：AP=；

故答案為：13或．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．