Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．

（1）直線(xiàn)BF垂直于CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖1），求證：AE=CG；

（2）直線(xiàn)AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M（如圖2），求證：△BCE≌△CAM．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．

【分析】（1）先證出∠ACE=∠CBG，再由ASA證明△ACE≌△CBG，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；

（2）先證出∠CEB=∠CMA，再由AAS證明△BCE≌△ACM．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．

∴∠CAE=∠BCG．

又BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°．

又∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG．

在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB．

∴AE=CG．

（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．

∴∠CMA=∠BEC．

又AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中

∴∠BCE≌△CAM（AAS）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．