Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，BC=12，E為邊AC的中點(diǎn)，

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC,垂足為點(diǎn)H，求線段CH的長(zhǎng)；

（2）作線段BE的垂直平分線分別交邊BC、BE、AB于點(diǎn)D、O、F.

①如圖2，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求BD的長(zhǎng)；

②如圖3，設(shè)tan∠ACB=x，BD=y，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式和tan∠ACB的最大值.

Answer 1

【答案】（1）3（2）5（3）①②

【解析】試題分析：（1）點(diǎn)A作AG⊥BC交BC于點(diǎn)G，則EH∥AG，由等腰三角形的性質(zhì)得CG=6,再由E為AC中點(diǎn)可得H為CG的中點(diǎn).

（2）①過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，設(shè)，在Rt△EDH中可得，解方程求出x的值；由 ，可得， ，在中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式，然后整理可得y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；求tan∠ACB的最大值有兩種方法一是利用正切的增減性，二是利用數(shù)形結(jié)合.

解：（1）點(diǎn)A作AG⊥BC交BC于點(diǎn)G.

∵，

∴，

∵E為AC中點(diǎn)，EH∥AG，

∴H為CG的中點(diǎn)，∴CH=3，

⑵①過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，

∵△ABC是等腰直角三角形，則CH=EH=3，

設(shè)，則， ，

Rt△EDH中， ，

解之得， ，

即BD=5，

②∵ ，

∴， ，

在中，

，

∴，

方法一：由得， ，

當(dāng)y有最大值時(shí)，x有最大值.即tan∠ACB有最大值.

∴當(dāng)y=12時(shí)， ， （負(fù)的舍去），

∴tan∠ACB最大值為，

或方法二：當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，tan∠ACB最大，

，

.

BC邊的高為，

此時(shí)tan∠ACB=.