Question

【題目】（1）如圖1所示，△ABC中，∠ACB的角平分線CF與∠EAC的角平分線AD的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F；

①若∠B＝90°則∠F＝　 　；

②若∠B＝a，求∠F的度數(shù)（用a表示）；

（2）如圖2所示，若點(diǎn)G是CB延長(zhǎng)線上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接AG，∠AGB與∠GAB的角平分線交于點(diǎn)H，隨著點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)，∠F+∠H的值是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出其值．

Answer 1

【答案】（1）①45°；②∠F＝a；（2）∠F+∠H的值不變，是定值180°．

【解析】

（1）①②依據(jù)AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，可得∠CAD=∠CAE，∠ACF=∠ACB，依據(jù)∠CAE是△ABC的外角，可得∠B=∠CAE-∠ACB，再根據(jù)∠CAD是△ACF的外角，即可得到∠F=∠CAD-∠ACF=∠CAE-∠ACB=（∠CAE-∠ACB）=∠B；

（2）由（1）可得，∠F=∠ABC，根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠H=90°+∠ABG，進(jìn)而得到∠F+∠H=90°+∠CBG=180°．

解：（1）①∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，

∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，

∵∠CAE是△ABC的外角，

∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，

∵∠CAD是△ACF的外角，

∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝45°，

故答案為：45°；

②∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，

∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，

∵∠CAE是△ABC的外角，

∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，

∵∠CAD是△ACF的外角，

∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝a；

（2）由（1）可得，∠F＝∠ABC，

∵∠AGB與∠GAB的角平分線交于點(diǎn)H，

∴∠AGH＝∠AGB，∠GAH＝∠GAB，

∴∠H＝180°﹣（∠AGH+∠GAH）＝180°﹣（∠AGB+∠GAB）＝180°﹣（180°﹣∠ABG）＝90°+∠ABG，

∴∠F+∠H＝∠ABC+90°+∠ABG＝90°+∠CBG＝180°，

∴∠F+∠H的值不變，是定值180°．