Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，點E在CB的延長線上，聯(lián)結AE、DE，DE與邊AB交于點F，F(xiàn)G∥BE且與AE交于點G．
（1）求證：GF=BF．
（2）在BC邊上取點M，使得BM=BE，聯(lián)結AM交DE于點O．求證：FOED=ODEF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，

∵GF∥BE，

∴GF∥BC，

∴GF∥AD，

∴ ，

∵AB∥CD，

∴ ，

∵AD=CD，

∴GF=BF；

（2）證明：延長GF交AM于H，

∵GF∥BC，

∴FH∥BC，

∴ ，

∴ ，

∵BM=BE，

∴GF=FH，

∵GF∥AD，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴FOED=ODEF．

【解析】（1）根據(jù)已知條件可得到GF∥AD，則有 ，由BF∥CD可得到 ，又因為AD=CD，可得到GF=FB；（2）延長GF交AM于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 ，由于BM=BE，得到GF=FH，由GF∥AD，得到 ，等量代換得到 ，即 ，于是得到結論．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．